1.1 天文单位 (Astronomical Unit, AU)#

• 定义：地球到太阳的平均距离。
• 数值 ：$1 , \text{AU} \approx 1.496 \times 10^{11} , \text{m}$

1.2 光年 (Light Year, l.y.)#

• 定义：光在真空中一年传播的距离。
• 推导：
  • 光速 $c \approx 299,792,458 , \text {m/s}$
  • 一年 $= 365.25 , \text {days} = 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 , \text {s} \approx 3.15576 \times 10^7 , \text {s}$
  • $1 , \text{l.y.} = c \times 1 , \text{year} \approx (299,792,458 , \text{m/s}) \times (3.15576 \times 10^7 , \text{s}) \approx 9.461 \times 10^{15} , \text{m}$

1.3 秒差距 (Parsec, pc)#

• 定义：当一个天文单位 (AU) 的长度对应于一角秒 ($1/3600$ 度) 的角度时，距离观察者的距离。
• 推导：
  1. 考虑一个直角三角形，其中一条直角边为 $1 , \text {AU}$，另一条直角边为距离 $d$ ($1 , \text {pc}$)，对角为 $1 , \text {arcsecond}$。
  2. 使用三角函数： $$\tan (1 , \text {arcsecond}) = \frac {1 , \text {AU}}{d}$$
  3. 对于小角度，$\tan (1 , \text {arcsecond}) \approx 1 , \text {arcsecond}$(以弧度表示)。
  4. $1 , \text{arcsecond} = \frac{1}{3600} , \text{degree} = \frac{1}{3600} \times \frac{\pi}{180} , \text{radians} \approx 4.8481368 \times 10^{-6} , \text{radians}$
  5. 因此： $$d = \frac {1 , \text {AU}}{4.8481368 \times 10^{-6}} \approx 3.086 \times 10^undefined , \text {m}$$
  6. $1 , \text{pc} \approx 3.086 \times 10^{16} , \text{m} \approx 3.26 , \text{l.y.}$
  7. 示意图：

1.4 单位之间的关系和转换#

• $1 , \text{AU} \approx 1.5813 \times 10^{-5} , \text{l.y.} \approx 4.8481 \times 10^{-6} , \text{pc}$
• $1 , \text{l.y.} \approx 63,240 , \text{AU} \approx 0.3066 , \text{pc}$
• $1 , \text{pc} \approx 206,265 , \text{AU} \approx 3.26 , \text{l.y.}$

2.1 星等 (Magnitude)#

• 定义：星等是衡量天体亮度的对数标度，最初由古希腊天文学家希帕克斯提出。星等越小，天体越亮；星等越大，天体越暗。
• 历史：希帕克斯将最亮的星星定为 1 等星，肉眼可见的最暗星定为 6 等星。现代星等系统包括负星等和大于 6 的星等。

2.2 视星等 (Apparent Magnitude, $m$)#

• 定义：视星等是从地球上观察到的天体亮度，不考虑天体与地球的距离。
• 特点：视星等受到天体光度、距离、星际尘埃消光等因素的影响。
• 例子：
  • 太阳的视星等约为 $-26.74$
  • 满月的视星等约为 $-12.6$
  • 织女星的视星等约为 $0.03$

2.3 绝对星等 (Absolute Magnitude, $M$)#

• 定义：绝对星等是将天体放置在距离地球 10 秒差距 (约 32.6 光年) 处时的视星等。
• 特点：绝对星等反映了天体本身的固有亮度，不受距离影响。

2.4 亮度 (Brightness) 或照度 (Illuminance)#

• 定义：亮度是从地球上单位面积接收到的天体辐射能量，单位为 $\text {W/m}^2$。
• 特点：亮度是线性标度，与视星等直接相关。

2.5 光度 (Luminosity, $L$)#

• 定义：光度是天体每秒辐射的总能量，单位为瓦特 ($\text {W}$)。
• 特点：光度是天体的固有属性，与距离无关。
• 与太阳光度的比较：天体光度常用太阳光度 ($L\_\odot$) 作为单位。例如，某恒星光度为 $10 , L\_\odot$，表示其光度为太阳的 10 倍。

2.6 距离模数 (Distance Modulus, $\mu$)#

• 定义：距离模数是视星等 ($m$) 和绝对星等 ($M$) 的差值，反映天体与地球的距离。
• 公式 ： $$\mu = m - M = 5 \log\_undefined \left ( \frac {d}undefined \right)$$ 其中 $d$ 是以秒差距 ($\text {pc}$) 为单位的距离。
• 推导：
  1. 亮度和距离平方成反比： $$\frac {b}{b\_undefined} = \left ( \frac undefined{d} \right)^2$$
  2. 星等和亮度的对数关系： $$m - M = -2.5 \log\_undefined \left ( \frac {b}{b\_undefined} \right)$$
  3. 联立得： $$\mu = 5 \log\_undefined \left ( \frac {d}undefined \right)$$

3.1 星等差公式#

设两个天体的视星等分别为 $m\_1$ 和 $m\_2$，亮度分别为 $b\_1$ 和 $b\_2$，则：

或：

3.2 绝对星等、视星等与距离模数的关系#

• 公式 ： $$M = m - 5 \log\_{10} d + 5$$
• 距离计算 ： $$d = 10^{\frac{m - M + 5}{5}} , \text{pc}$$

3.3 光度、亮度与距离的关系#

• 公式： $$b = \frac {L}{4 \pi d^2}$$ 其中：
  • $b$：亮度
  • $L$：光度
  • $d$：距离

3.4 光度与绝对星等的关系#

• 公式 ： $$M\_2 - M\_1 = -2.5 \log\_undefined \left ( \frac {L\_2}{L\_1} \right)$$ 或： $$\frac {L\_2}{L\_1} = 10^{-0.4 (M\_2 - M\_1)}$$
• 相对于太阳光度： $$\frac {L}{L\_\odot} = 10^{-0.4 (M - M\_\odot)}$$ 其中 $M\_\odot \approx 4.83$。

3.5 相关的其他概念#

4.1 视向速度 (Radial Velocity)#

• 定义：天体沿视线方向
• 的运动速度分量。
• 测量方法：通过多普勒效应测量谱线的红移或蓝移。
• 多普勒公式： $$\frac {\Delta \lambda}{\lambda} = \frac {v\_r}{c}$$ 其中：
  • $\Delta \lambda$：观测波长与静止波长之差
  • $\lambda$：静止波长
  • $v\_r$：视向速度
  • $c$：光速

4.2 自行 (Proper Motion)#

• 定义：天体在天球上垂直于视线方向的角位移速度。
• 单位：角秒 / 年 (arcsec/yr)
• 计算公式： $$\mu = \frac {v\_t}{d}$$ 其中：
  • $\mu$：自行
  • $v\_t$：切向速度
  • $d$：距离

4.3 周年视差 (Annual Parallax, π)#

• 定义：从地球轨道两端观测恒星时的视向差的一半
• 基本公式：$π = \frac undefined{r}$ (π 单位为角秒，r 为距离，单位为秒差距)
• 距离换算：
  • $r(pc) = \frac{1}{π"}$
  • $r(ly) = \frac{3.262}{π"}$
  • $1pc = 3.086 × 10^{13}km = 3.262ly$

4.4 三大宇宙速度#

1. 第一宇宙速度：

   • 定义：物体绕地球作圆周运动所需的最小速度
   • 公式：$v\_1 = \sqrt {\frac {GM\_E}{R\_E}} \approx 7.9 \text { km/s}$

2. 第二宇宙速度：

   • 定义：物体摆脱地球引力所需的最小速度
   • 公式：$v\_2 = \sqrt undefined,v\_1 \approx 11.2 \text { km/s}$

3. 第三宇宙速度：

   • 定义：物体摆脱太阳系引力所需的最小速度
   • 公式：$v\_3 \approx 16.7 \text {km/s}$ (在地球轨道处)

4.5 向心力与万有引力#

4.6 开普勒三定律#

1. 轨道定律：行星轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

2. 面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

   $$\frac {dA}{dt} = \text {常量} = \frac {L}{2m}$$

3. 周期定律：行星轨道长半轴的立方与公转周期的平方成正比。

   $$\frac {a^3}{T^2} = \frac {GM}{4\pi^2}$$

   其中：

   • $a$：轨道长半轴
   • $T$：公转周期
   • $M$：中心天体质量

4.7 红移#

1. 口径 (D)#

• 物镜或主镜的有效直径
• 基本单位换算：$1 inch = 25.4mm$
• 决定望远镜的基础性能参数

2. 焦距 (F)#

• 主焦距：物镜 / 主镜本身的焦距
• 等效焦距：$F\_{eq} = F \times Barlow$
  • Barlow 为倍率 (如 2×, 3× 等)

3. 焦比 (f)#

• 基本公式：$f\_{ratio} = \frac {F}{D}$
• 典型值分类：
  • $f/4 - f/6$：深空摄影
  • $f/8 - f/10$：通用型
  • $f/12$ 以上：行星观测

4. 分辨角 (θ)#

• 瑞利判据：
  • $θ = \frac {1.22λ}{D}$ (弧度)
  • $θ = \frac {251600λ}{D}$ (角秒)
  • λ 为波长 (通常 550nm)
  • D 为口径 (mm)

5. 视场 (ω)#

1. 理论视场计算公式：

   • $\tan(\frac{ω}{2}) = \frac{D}{F}$
   • ω 为视场角 (度)
   • D 为口径 (mm)
   • F 为焦距 (mm)

2. 实际考虑：

   • 施密特望远镜：视场 ω 可达十几度
   • 一般反射望远镜：视场 ω 小于 1°
   • 实际视场常小于理论值，因为：
     • 光学系统像差
     • 视场边缘像质下降
     • 成像良好区域限制

3. CCD / 全画幅相机使用时：

   • 实际视场 = $2 × \arctan (\frac {sensor\_size}{2F})$
   • $sensor\_size$ 为传感器对角线长度
   • 常用传感器尺寸：
     • 全画幅：对角线 43.3mm
     • APS-C：对角线约 28.4mm

6. 放大率 (M)#

• 基本公式：$M = \frac {F}{f}$
• 有效范围：
  • 最大：$M\_{max} ≈ 2D$ (D 单位 mm)
  • 最小：$M\_{min} ≈ \frac {D}undefined$
  • 实用：$M\_{practical} ≈ D$ 到 $1.5D$

7. 底片比例尺 (S)#

• 基本公式：$S = \frac {206265"}{F}$ (角秒 /mm)
• CCD 像元分辨率：
  • $R = \frac {pixel\_size × 206.265}{F}$ (角秒 / 像素)
  • $pixel\_size$ 为像元尺寸 (μm)

8. 贯穿本领 (m)#

• 目视：$m = 2.5\log D + 2.1$
• 摄影：$m = 2.5\log D + 4.8$
• D 为口径 (mm)

9. CCD / 全画幅相关补充#

10. 望远镜的信噪比 (SNR)#

• 基本公式 ： $SNR = \frac{N\_{signal}}{\sqrt{N\_{signal} + N\_{sky} + N\_{dark} + N\_{read}^2}}$

• 各项说明：

  • $N\_{signal}$：目标信号光子数
  • $N\_{sky}$：天空背景光子数
  • $N\_{dark}$：暗电流噪声
  • $N\_{read}$：读出噪声

• 曝光时间估算： $t = \frac {SNR^2 (N\_{sky} + N\_{dark} + N\_{read}^2)}{(S/s)^2}$ 其中 S 为信号强度，s 为每秒信号计数

11. 大气视宁度 (Seeing)#

• 定义：大气扰动对天文观测的影响程度
• 测量单位：角秒 (arcsec)
• 典型值：
  • 极好：< 0.5”
  • 良好：0.5”- 1.0”
  • 一般：1.0”- 2.0”
  • 较差：> 2.0”

1. 洛希极限 (Roche Limit)#

• 定义：一颗卫星在不被潮汐力撕碎的情况下，能够接近其主星的最小距离
• 基本公式：$d = R (\frac {2\rho\_M}{\rho\_m})^{\frac undefinedundefined}$
• 应用：解释行星环的形成、预测卫星解体距离、研究双星系统稳定性
• 实例：土星环就位于土星的洛希极限内，这解释了为什么这些物质无法聚合成卫星

2. 史瓦西极限 (Schwarzschild Radius)#

• 定义：物体被压缩到这个半径时会形成黑洞，即光都无法逃脱的临界半径
• 基本公式：$R\_s = \frac {2GM}{c^2}$
• 应用：黑洞研究、引力塌缩理论、广义相对论验证
• 实例：太阳如果被压缩到约 3 公里半径就会成为黑洞

3. 钱德拉塞卡极限 (Chandrasekhar Limit)#

• 定义：白矮星能够达到的最大质量限制，约为 1.44 个太阳质量
• 物理意义：电子简并压力能够支撑的最大恒星质量
• 应用：超新星爆发机制研究、白矮星演化研究
• 实例：Ia 型超新星爆发通常发生在接近这个质量限制时

4. 爱丁顿极限 (Eddington Limit)#

• 定义：恒星通过辐射压力能够维持的最大光度
• 基本公式：$L\_{Edd} = \frac {4\pi GMc}{\kappa}$
• 应用：超大质量恒星研究、吸积天体研究
• 实例：很多超巨星的光度接近但不超过爱丁顿极限

5. 托尔曼 - 奥本海默 - 沃尔科夫极限 (TOV Limit)#

• 定义：中子星可能达到的最大质量
• 物理意义：中子简并压力能够支撑的最大质量
• 应用：中子星研究、双中子星并合研究
• 实例：目前观测到的最大中子星质量约 2.5 太阳质量

6. 海恩斯界线 (Hayashi Track)#

• 定义：完全对流恒星在 H-R 图上可能存在的最低温度边界
• 物理意义：标志着恒星结构从辐射平衡向对流平衡的转变
• 应用：恒星形成和早期演化研究
• 实例：红巨星和年轻恒星的演化轨迹

7. 维里极限 (Virial Limit)#

• 定义：描述系统中动能与势能之间的平衡关系
• 基本关系：$2K + U = 0$
• 应用：星系团动力学、恒星结构
• 实例：用于估算星系团的总质量

标准烛光#

• 定义：已知绝对星等的天体，用于测量宇宙距离
• 主要类型：
  • 造父变星
  • Ia 型超新星 (绝对星等约 - 19.3 等)
  • RR 天琴型变星
• 距离计算：
  • 距离模数：$m - M = 5\log r - 5$
  • r 为秒差距距离

造父变星#

• 特征：周期 - 光度关系
• 周期 - 光度公式：
  • $M\_v = -2.81\log P - 1.43$
  • P 为周期 (天)
  • M_v 为绝对星等
• 应用：测量河外星系距离

引力透镜#

• 基本原理：广义相对论预言的光线弯曲
• 引力偏转角：$α = \frac {4GM}{c^2b}$
  • G 为引力常数
  • M 为透镜质量
  • b 为撞击参数
• 爱因斯坦环半径：$θ\_E = \sqrt {\frac {4GM}{c^2}\frac {D\_{LS}}{D\_L D\_S}}$
  • D_LS：透镜到源的距离
  • D_L：观测者到透镜的距离
  • D_S：观测者到源的距离

RR 天琴变星#

• 特征：周期短 (0.2-1 天)
• 绝对星等：约 0.6 等
• 用途：测量球状星团距离

宇宙距离阶梯#

从近到远的测量方法： 1) 视差法 (<100pc) 2) 运动视差 3) 统计视差 4) 主序拟合 5) 造父变星 6) RR 天琴变星 7) Ia 型超新星

哈勃定律#

• 公式：$v = H\_0d$
  • $v$ 为星系退行速度
  • $d$ 为距离
  • $H\_0$ 为哈勃常数
• 现代测量值：
  • $H\_0 ≈ 67.4 ± 0.5 km/s/Mpc$(Planck)
  • $H\_0 ≈ 74.03 ± 1.42 km/s/Mpc$(SH0ES)

天文测光系统#

第二宇宙速度#

物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度。

首先介绍引力势能公式：两物体之间的引力势能大小为：

注意，引力势能为负值，物体间距越大，引力势能越大；当距离达到无穷时，引力势能最大，为 0 焦耳。

因此，当物体挣脱地球引力飞向地球无穷远处时，物体动能和势能都为 0 焦耳，根据机械能守恒，此时物体的总能量 (动能 + 引力势能) 之和也应该为 0 焦耳，即：

即：

化解得：

第三宇宙速度#

物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外空间的最小发射速度。

首先，我们发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此，先求解地球绕太阳的公转速度，即：

解得：

然后，我们不考虑地球的影响 (或假设地球不存在)，以太阳为参考系，那么在地球附近的物体具有的动能与势能之和为：

若该物体能挣脱太阳引力，则应该满足：

即：

解得：

注意：其实在推导第一宇宙速度 (环绕速度) 和第二宇宙速度 (逃逸速度) 的时候，我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号 2 倍了。因此上述 $v\_0$ 相当于地球逃逸太阳的速度。

前面已经说过，发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此得到：

也可以理解为是相对地球的速度，即以地球为参考系的速度。

假设地球不存在的情况下，现在把地球还原，则发射速度还要克服地球引力作用，即：

联立：

可得：

注意：上述可以直接理解为：发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。

简单来说，发射动能相当于地球从太阳系逃逸后，物体再从地球上逃逸。当然这个说法不完全正确，因为涉及到一个相对速度和参考系的变化！

最终解得：